群论 ​

引入 ​

在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。

定义 ​

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。

一个群是一个集合 $G$ 加上对 $G$ 的二元运算。二元运算用 $\cdot$ 表示，它结合了任意两个元素 $a$ 和 $b$ 形成了一个属于 $G$ 的元素，记为 $a\cdot b$。

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若集合 $G\ne \varnothing$ 和 $G$ 上的运算 $\cdot$ 构成的代数结构 $(G,\cdot )$ 满足以下性质：

1. 封闭性：对于所有 $G$ 中 $a,b$，运算 $a·b$ 的结果也在 G 中。
2. 结合律（associativity）：对于 $G$ 中所有的 $a,b,c$，等式 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 成立。
3. 单位元（identity element，也称幺元）：$G$ 中存在一个元素 $e$，使得对于 $G$ 中的每一个元素 $a$，都有一个 $e\cdot a=a\cdot e=a$ 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。
4. 逆元（inverse element）：对于每个 $G$ 中的 $a$，总存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使 $a\cdot b=b\cdot a=e$，此处 $e$ 为单位元，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$。

则称 $(G,\cdot )$ 为一个 群。例如，整数集和整数间的加法 $(\mathbb{Z},+)$ 构成一个群，单位元是 0，一个整数的逆元是它的相反数。

群的衍生结构 ​

• 若代数结构 $(G,\cdot )$ 满足封闭性、结合律性质，则称 $(G,\cdot )$ 为一个 半群（semigroup）。
• 若半群 $(G,\cdot )$ 还满足单位元性质，则称 $(G,\cdot )$ 为一个 幺半群（monoid）。
• 若群 $(G,\cdot )$ 还满足 交换律（commutativity）：对于 $G$ 中所有的 $a,b$，等式 $a\cdot b=b\cdot a$ 成立。
  则称 $(G,\cdot )$ 为一个 阿贝尔群（Abelian group），又称 交换群（commutative group）。

群的基本概念 ​

定义 $X=x,y,z$ 为包含 $x,y,z$ 元素的集合 $X$。$x\in X$ 表示 $x$ 属于集合 $X$。$f:X\to Y$ 表示 $f$ 是一个与 $X$ 的每个元素和 $Y$ 的元素相关联的函数。

在研究集合时，我们使用子集（subset）、函数（function）和等价关系商（quotient by an equivalence relation）等概念。在研究群时，我们通过等价关系用子群（subgroup)、同态（homomorphism）和商群（quotient group）来代替。

群同态 ​

群同态 是保持群结构的函数，可用于关联两个群。

从群 $(G,\cdot )$ 到群 $(H,\ast )$ 的同态是一个函数 $\phi :G\to H$ 使得对于 $G$ 中所有的元素 $a$ 和 $b$：

子群 ​

子群：群 $(G,\cdot ),(H,\cdot )$，满足 $H\subseteq G$，则 $(H,\cdot )$ 是 $(G,\cdot )$ 的子群。

子群 是包含在更大的群 $G$ 内的一个群 $H$。它具有 $G$ 的元素的子集和相同操作。这意味着 $G$ 的单位元素必须包含在 $H$ 中，并且每当 $h_1$ 和 $h_2$ 都在 $H$ 中，那么 $h_1\cdot h_2$ 和 $h_1^{-1}$ 也在 $H$ 中。所以 $H$ 中的元素，和在 $G$ 上的限制为 $H$ 的群操作，形成了一个群体。

即，若 $(G,\cdot )$ 是群，$H$ 是 $G$ 的非空子集，且 $(H,\cdot )$ 也是群，则称 $(H,\cdot )$ 是 $(G,\cdot )$ 的 子群。

子群检验法（subgroup test）是群 $G$ 的子集 $H$ 是子群的充分必要条件：对于所有元素 $g,h\in H$，$g^{-1}\cdot h\in H$。

阶 ​

群 $G$ 的阶是它元素的个数，记作 $\mathrm{ord}(G)$ 或 $|G|$，无限群有无限阶。

群 $G$ 内的一个元素 $a$ 的阶是使 $a^m=e$ 成立的最小正整数 $m$，记作 $\mathrm{ord}(a)$ 或 $|a|$，等于 $\mathrm{ord}(⟨a⟩)$。若这个数不存在，则称 $a$ 有无限阶。有限群的所有元素都有有限阶。

例如，群 $Z_n^{\times }=\{a\in \{0,1,\cdots ,n-1\}\mid gcd(a,n)=1\}$ 的阶为 $\phi (n)$，其中元素 $x$ 的阶为满足 $x^r\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 的最小正整数 $r$（这正是数论中 $x$ 模 $n$ 的阶）。

拉格朗日定理：如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么 $|G|=[G:H]|H|$。

证明的简要思路是：（左/右）陪集大小等于子群大小；而每个陪集要么不相交要么相等，且所有陪集的并是集合 $G$；那么陪集数就等于 $G$ 与 $H$ 的阶之比。

由拉格朗日定理可立即得到：群中任意一个元素的阶，一定整除群的阶。

如果群 $G$ 中存在两个元素 $a$、$b$ 的阶 $m$、$n$ 互素，那么 $a^s{b}^t=e$ 当且仅当 $a^s=e$ 并且 $b^t=e$。

群的主要类别 ​

循环群 ​

循环群（cyclic group，记作 $C_n$）是最简单的群。群 $G$ 中任意一个元素 $a$ 都可以表示为 $a=g^k$，其中 $k$ 为整数。称 $g$ 为群 $G$ 的生成元。

生成元 $g$ 的阶就是群 $G$ 的阶。

阶为 $m$ 的有限循环群 $G$ 同构于模 $m$ 剩余类对于加法构成的群 $Z_m$。